SZEREGI LICZBOWE, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
SZEREGI LICZBOWE
w zadaniach 2.1 – 2.8 korzystamy z kryterium pierwiastkowego Cauchy’ego
n
a
n
n
®
¥
Zad.2.1
¥
Ä
3
n
-
1
Ô
n
Ã
Æ
Ö
n
=
1
4
n
+
5
n
Æ
3
-
1
Ö
Æ
3
-
1
Ö
Ä
3
n
-
1
Ô
n
Ä
3
n
-
1
Ô
n
n
3
lim
n
Æ
Ö
=
lim
Æ
Ö
=
lim
=
lim
=
<
1
¼
sz. bezwzgl
dnie zbie
ny
4
n
+
5
4
n
+
5
Ä
5
Ô
Ä
5
Ô
4
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
4
+
4
+
Æ
Ö
Æ
Ö
n
n
Zad.2.2
¥
Ä
1
Ô
n
Ã
Æ
sin
n
Ö
n
=
1
Ä
1
Ô
n
Ä
1
Ô
lim
n
Æ
sin
Ö
=
lim
Æ
sin
Ö
=
sin
0
=
0
<
1
¼
szereg bezwzgl
dnie zbie
ny
n
®
¥
n
n
®
¥
n
Zad.2.3
n
n
Ã
¥
Å
Æ
n
Õ
Ö
n
=
7
1
Ä
n
n
Ô
n
Ä
1
Ô
n
1
lim
n
Å
Æ
Õ
Ö
=
lim
n
Æ
Ö
=
<
1
¼
sz. b. zb.
7
7
7
n
®
¥
n
®
¥
Zad.2.4
¥
Ã
n
2
n
n
n
1
6
+
1
2
n
n
2
×
n
n
2
1
lim
n
=
lim
=
=
<
1
¼
sz. b. zb.
6
n
+
1
6
×
n
6
6
3
n
®
¥
n
®
¥
Zad.2.5
¥
4
n
4
Ã
n
=
1
Ä
2
Ô
n
Æ
3
+
Ö
n
4
n
4
n
4
n
4
1
lim
=
lim
=
<
1
¼
sz. b. zb.
n
Ä
2
Ô
3
n
®
¥
2
n
®
¥
Ä
Ô
n
3
+
Æ
3
+
Ö
Æ
Ö
n
n
Grzegorz Mrzygłocki, WILi
, sem.III, gr.2
1
lim
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Zad.2.6
Ã
¥
e
-
n
!
n
=
1
lim
n
e
-
n
!
=
lim
n
e
-
( )
n
-
1
!
n
=
lim
e
-
( )
n
-
1
!
=
0
<
1
¼
sz. b. zb.
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Zad.2.7
n
2
¥
2
Ä
n
+
1
Ô
Ã
Æ
Ö
n
=
1
2
n
n
n
2
n
2
Ä
n
+
1
Ô
n
2
Ä
n
+
1
Ô
e
lim
n
Æ
Ö
=
lim
Æ
Ö
=
>
1
¼
sz. rozbie
ny
n
2
n
2
n
2
n
®
¥
n
®
¥
Zad.2.8
¥
Ã
3
n
2
-
1
n
1
2
n
2
n
3
n
2
-
1
3
n
×
n
1
Ä
3
Ô
¥
lim
=
lim
=
>
1
¼
sz. r.
n
Æ
Ö
2
n
2
n
2
n
®
¥
n
®
¥
2
n
n
n
w zadaniach 2.9 – 2.12 korzystamy z kryterium ilorazowego d’Alemberta
lim
a
1
n
+
a
n
®
¥
n
Zad.2.9
( )
Ã
¥
n
+
5
5
n
n
=
1
7
n
×
3
n
+
1
6
( )
( )
( )
1
+
n
+
6
×
5
n
×
5
7
n
×
3
n
+
1
5
n
+
6
5
n
5
lim
·
=
lim
=
lim
×
=
<
1
¼
sz. b. zb.
( )
7
n
×
7
×
3
n
+
1
×
3
n
+
5
×
5
n
21
n
+
5
21
5
21
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
1
+
n
Zad.2.10
¥
3
n
n
!
Ã
n
n
=
1
n
Å
Õ
( )
( ) ( )
n
×
3
×
n
!
×
n
+
1
n
n
n
n
1
3
lim
·
=
lim
3
×
=
3
lim
×
Å
Õ
=
>
1
¼
sz. rozbie
ny
n
®
¥
n
+
1
n
×
n
+
1
3
n
n
!
n
®
¥
( )
n
+
1
n
n
®
¥
n
+
1
n
e
Ä
Ô
Å
Õ
Æ
Ö
Æ
n
Ö
Grzegorz Mrzygłocki, WILi
, sem.III, gr.2
2
Ä
Ô
3
Zad.2.11
¥
n
n
2
n
Ã
n
=
1
6
n
( )
2
!
( ) ( )
( ) ( )
n
+
1
2
n
+
n
+
1
2
6
n
( )
n
!
2
1
Ä
n
+
1
Ô
2
n
e
2
lim
·
=
lim
×
Æ
Ö
=
>
1
¼
sz. rozbie
ny
6
n
×
6
×
n
!
2
×
n
+
1
2
n
2
n
6
n
6
n
®
¥
n
®
¥
Zad.2.12
( )
¥
2 ×
n
2
n
Ã
n
=
1
n
2
n
( ( )
( ) ( )
( )
2
n
+
1
!
×
2
n
+
1
n
2
n
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
n
!
2
n
+
1
2
n
+
2
×
2
×
2
n
×
n
2
n
(
2
) ( )
( )
+
1
2
n
+
1
Ä
n
Ô
2
n
lim
·
=
lim
=
2
lim
×
Æ
Ö
=
n
+
1
2
n
×
n
+
1
2
2
n
!
×
2
n
n
+
1
2
n
×
n
+
1
2
×
2
n
!
×
2
n
n
+
1
2
n
+
1
n
®
¥
n
®
¥
n
®
( )
( )
2
n
+
1
Ä
n
Ô
2
n
8
4
lim
×
Æ
Ö
=
>
1
¼
sz. rozb.
n
+
1
n
+
1
e
2
n
®
¥
w zadaniach 2.13 – 2.24 korzystamy z warunku koniecznego zbie
no
ci szeregu oraz
kryterium porównawczego:
( )
1
£
cos
( )
x
£
1
Û
p
2
x
Î
0
£
sin
( )
x
£
x
2
Ü
p
x
£
tg
( )
x
£
2
x
dla
x
Î
0
p
4
( )
x
ln
x
£
Zad.2.13
Ã
¥
cos
1
n
=
1
n
1
lim
cos
=
cos
0
=
1
¼
wyraz ogólny szeregu nie d
y do 0, a wi
c nie jest spełniony
n
n
®
¥
warunek konieczny zbie
no
ci szeregu = szereg jest rozbie
ny
Zad.2.14
¥
Ä
-
p
Ô
¥
( )
¥
p
( )
Ã
Æ
1
cos
Ö
=
Ã
1
¹
0
-
Ã
cos
¹
0
¼
sz. rozbie
ny
n
n
n
=
1
n
=
1
n
=
1
Zad.2.15
cos
2
Æ
n
p
Ö
¥
3
Ã
n
=
1
2
n
cos
2
Ä
p
n
Ö
£
1
3
a
£
1
n
2
n
lim
n
1
=
1
<
1
¼
sz. b. zb. => Badany szereg jest zbie
ny
2
n
2
n
®
¥
Grzegorz Mrzygłocki, WILi
, sem.III, gr.2
3
n
¥
cos
Ú
Ä
Ô
Æ
Ô
Zad.2.16
Ã
¥
sin
Æ
4
Ö
n
=
1
3
n
2
£
sin
Æ
4
Ö
£
4
p
3
n
3
n
a
n
4
£
3
n
lim
n
4
=
1
<
1
¼
sz. b. zb. => Badany szereg jest zbie
ny
3
n
3
n
®
¥
Zad.2.17
Ã
¥
3
n
sin
2
Æ
1
Ö
n
n
=
1
2
£
sin
Æ
1
Ö
£
1
p
n
n
4
£
sin
2
Æ
1
Ö
£
1
p
2
n
n
2
a
n
£
3
n
=
1
¼
sz. harmoniczny Dirichleta
a
5
>
1
=> sz. zb.
n
5
3
n
3
Zad.2.18
Ã
+
¥
n
×
tg
Æ
p
Ö
2
n
1
n
=
1
p
£
tg
Æ
p
Ö
£
2
p
=
p
2
n
+
1
2
n
+
1
2
n
+
1
2
n
n
p
£
a
£=
n
p
2
n
+
1
n
2
n
lim
n
n
p
=
1
<
1
¼
sz. b. zb. => badany szereg jest zbie
ny
2
n
2
n
®
¥
Zad.2.20
Ã
¥
tg
3
Æ
2
Ö
n
=
1
n
2
p
£
tg
Æ
2
p
Ö
£
4
p
n
n
n
( )
2
p
3
Ä
2
p
Ô
( )
3
4
p
3
£
tg
3
Æ
Ö
£
n
3
n
n
a
n
£
( )
4
p
3
1
×
¼
sz. harmoniczny Dirichleta
a
3 >
1
=> sz. zb.
n
3
Grzegorz Mrzygłocki, WILi
, sem.III, gr.2
4
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Zad.2.21
Ã
¥
n
(
2
+
( )
-
1
n
)
4
n
n
=
1
badamy zbie
no
bezwzgl
dn
szeregu
Ã
=
¥
Ã
3
n
n
1
4
n
lim
n
3
n
=
1
<
1
¼
szereg bezwzgl
dnie zbie
ny
4
n
4
n
®
¥
Zad.2.22
¥
n
3
(
2
+
( )
-
1
n
)
n
Ã
3
n
n
=
1
¥
n
3
( )
n
2
+
1
n
Ã
=
Ã
3
n
=
1
n
3
(
2
+
1
)
1
lim
n
=
<
1
¼
szereg bezwzgl
dnie zbie
ny
4
n
4
n
®
¥
Zad.2.23
( )
¥
ln
n
¥
( )
1
¥
( )
Ã
=
Ã
ln
n
=
Ã
ln
n
n
n
n
n
=
1
n
=
1
n
=
1
[ ]
( )
( )
lim
ln
n
n
=
lim
ln
1
=
ln
1
¹
0
¼
wyraz ogólny szeregu nie d
y do 0, a wi
c nie jest
n
®
¥
n
®
¥
spełniony warunek konieczny zbie
no
ci szeregu = szereg jest rozbie
ny
Zad.2.24
( )
n
Ã
¥
ln
n
n
=
1
2
ln
( )
n
n
£
a
£
n
n
2
n
lim
n
n
=
1
<
1
¼
szereg bezwzgl
dnie zbie
ny
2
n
2
n
®
¥
w zadaniach 2.25 – 2.32 korzystamy z kryterium porównawczego
Zad.2.25
Ã
¥
7
n
-
1
n
=
n
1
3
2
+
8
7
n
-
n
£
a
3
n
2
+
8
n
2
n
6
n
=
6
×
1
¼
sz. harmoniczny Dirichleta
a => sz. rozb.
11
n
2
11
n
Grzegorz Mrzygłocki, WILi
, sem.III, gr.2
5
n
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]