SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA, filozofia, logika, Kazimierz Trzęsicki Logika i teoria mnogości
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE
IARYTMETYKA
4.1. POJĘCIESYSTEMU SFORMALIZOWANEGO
Dążnośćdojasnościwypowiedziipewnościtwierdzeńjestcelem
naukiodsamychjejpoczątków.Ponadwątpliwośćceletewnajwyż-
szym stopniu udało się osiągnąć naukom dedukcyjnym. Odpowiedź
napytanie,jaknależypostępować,abywmożliwienajwyższymstop-
niuzrealizowaćtenideał,jakwwypadkuwszystkichinnychnauk,tak
iwwypadkulogiki imatematyki, dajemetodologia naukdedukcyj-
nych,awszczególnościmetodologiamatematyki
80
Swojąszczególną
pozycjęnaukidedukcyjnezawdzięczająwynalezieniusystemudeduk-
cyjnego.
Aksjomatyczneujęcieteoriiniejestczymśnowym.Historycznie
pierwszym systemem aksjomatycznym była geometria matematyka
greckiego Euklidesa (ok. 365– ok. 300 p.n.e.). Stanowiła ona pod-
sumowanietrzystulatdziałalnościmatematyków greckichizarazem
fundamentdalszego rozwojumatematyki. SamEuklidespozostawał
jeszczepodwyraźnymwpływemPlatona,założycielaAkademiiiuwa-
żał,żenaukaniemanicwspólnegozpraktyką.ZaPlatonemuznawał
też metodę aksjomatyczną za właściwą dla matematyki. Konstruk-
cjaksiąg
Elementów
,rozpoczynanieoddefinicjipojęćswoistychoraz
właściwych postulatów i aksjomatów wyraźnie wskazuje na wpływ
Arystotelesa i jego metodologii wyłożonej w
Analitykach wtórych
.
80
Por. Tarski [1994], s.123–124; a na temat związków z terminami „metalo-
gika”, „metamatematyka” i podobne zob. s. 147 oraz przypisy. Termin „meta-
matematyka” został wprowadzony przez D. Hilberta na oznaczenie badań nad
systemami sformalizowanymi. Najważniejszymi zagadnieniami metamatematyki
są:
niesprzeczność,zupełność
i
rozstrzygalnośćteorii.
230
4. SYSTEMY SFORMALIZOWANEI ARYTMETYKA
Przezprawie2200lat,doXIXw.,jegowykładgeometrii,
Elementy
,
byłypowszechnieużywanympodręcznikiem
81
.
Dlamatematykówinie
tylko dla nich, były wzorem. Stanowiły paradygmat matematyki
82
.
DlaEuklidesageometriamiałabyćnaukąopisującąrealnąprzestrzeń.
Jej aksjomaty były traktowane jako prawdy intuicyjnie oczywiste,
którychnawetniepowinnosiędowodzićczyuzasadniać.Byłato„la
science de la v´erit´e” (Poincar´e). Jej twierdzenia oceniane zaś były
wkategoriach prawdyifałszu
83
.
Istotnypostępnastąpiłdopieropo
1890 r., gdy postać systemu aksjomatycznego uzyskały arytmetyka,
dzięki pracom włoskiego matematyka Peano
84
igeometria,cobyło
osiągnięciemHilberta
85
.
Pojęcie systemu aksjomatycznego podlegałozmianom
86
.
Na sa-
mym początku
aksjomaty
były zdaniami uznanymi za intuicyjnie
oczywiste. Zawierały one
pojęcia pierwotne
, czyli pojęcia niezdefi-
niowane.Miałyonebyćintuicyjniejasne.Znaczeniatychpojęćbyły
charakteryzowaneprzezaksjomaty.Współczesnerozumieniesystemu
aksjomatycznego określa się jako
system sformalizowany
.Pierwsze
próbyformalizacjipodjąłFrege.Jegopodstawowedziełologiczne
Be-
griffsschrift,einederarithmetischennachgebildeteFormelsprachedes
reinenDenkens
(1879)zawierałopierwszywdziejachsformalizowany
system aksjomatyczny, jakim był implikacyjno-negacyjny rachunek
81
Liczbą wydańitłumaczeń
Elementy
ustępujątylko
Biblii
.
82
Matematyka była wzorem nauki dla racjonalizmu kartezjańskiego. Wspo-
mnijmy tutaj choćby prace filozoficzne pisane
more geometrico
jak np. najważ-
niejszytraktatB.Spinozy
Ethicaordinegeometricodemonstrata
.„Takmatema-
tycznej postaci filozofianie miałaani przed Spinozą, ani ponim”. –zob. Tatar-
kiewicz[1970],t.II,s.71.
83
Zmiana poglądów nastąpiła w związku z powstaniem systemów geometrii
nieeuklidesowych. Od tego czasu geometria przestała być nauką«empiryczną» i
stałasięnaukąabstrakcyjną.
84
Mamytunauwadzepracęzbiorową,którejredaktoremigłównymautorem
jestPeano,
Formulairedemath´ematiques
,Torino1895-1908.Dodajmyjeszcze,że
zasługąPeanojeststworzeniebardzowygodnejiprzejrzystejsymbolikilogicznej
imatematycznej,którazniewielkimi zmianami–wprowadzonymigłównieprzez
Russella –przetrwaładodziś.
85
Mamytunauwadzejegosłynnedzieło
GrundlagenderGeometrie
,Leipzig-
-Berlin,1899.
86
Wsprawiemetodologicznegopunktuwidzeniazob.Ajdukiewicz[1960].
4.1. POJĘCIE SYSTEMU SFORMALIZOWANEGO
231
zdań.
Jeśli w początkach aksjomatyzacja sprowadzała się w zasadzie
do wskazania pewnych zdań-pewników nie wymagających dowodze-
nia,pozostawiającresztęintuicjipoprawności,towspółcześnieintu-
icyjność została wyeliminowana całkowicie, jedyne co potrzebne to
umiejętność rozróżniania napisów jako równokształtnych, bądź nie-
równokształtnych.
Pierwszymetapemformalizacjiteoriibędziewięc
formalizacjaję-
zyka
tejteorii.Teoriematematyczneformułowanesązwyklewjęzyku
naturalnym.Korzystasięzjegosłownictwa,uzupełniającjejedynie
o specyficzne terminy, które są zwykle tworzone według jego norm
słowotwórczych.Dotegodochodząwygodnesymbole,umożliwiające
krótkiiprzejrzystyzapis.Wyrażeniabudujesięzgodniezzasadami
gramatycznymi.Ocenapoprawnościjęzykowejnależydokompetencji
użytkownikategojęzykajakojęzykacodziennego.Wwypadkujęzyka
sformalizowanego zadanyjest
słownik
poprzezwskazaniewszystkich
itylko«wyrazów»,symbolipodstawowych,a
gramatyka
opisanajest
«przepisami», regułami na tworzenie
wyrażeń poprawnie zbudowa-
nych
: ciąg elementów słownika jest poprawnie zbudowanym wyra-
żeniem danego języka wtedy i tylko, gdy jest utworzony zgodnie z
tymiregułami.
87
Regułysątegorodzaju,żeichstosowaniewymaga
tylkoumiejętnościidentyfikacjiwyrażeńrównokształtnych.Zzasady
słownikskładasięzeznaków
stałych logicznych
,
symboli nazwowych
(stałychizmiennych)
,
literpredykatowych
,
literfunkcyjnych
oraz
na-
wiasów
jakoznakówinterpunkcyjnych.Wsłownikuwyróżniasię
stałe
specyficzneteorii
,czylisymbolenapojęciapierwotneformalizowanej
teorii.Regułygramatycznesąróżnieopisywane.Badasięróżnegra-
matykiformalne.
Fakt,żesystemmacharakterformalnyiżerozwijającgoignoru-
jemyznaczeniewyrażeńnieoznacza,żewypowiedzimatematycznesą
pozbawione treści. „Jeśli ktoś przy konstruowaniu nauki zachowuje
siętak,jakgdybynierozumiałznaczeniaterminówtejnauki,tonie
jest to jednoznaczne z odmawianiem tym terminom jakiegokolwiek
87
Gdy kontekst wskazuje, że chodzi o wyrażenie poprawnie zbudowane i jest
jasneojakijęzykchodzi,mówisiępoprostuowyrażeniu.
232
4. SYSTEMY SFORMALIZOWANEI ARYTMETYKA
sensu. Zdarza się, co prawda, że budującpewną teorię dedukcyjną,
nieprzypisujemyjejterminomokreślonegoznaczeniaiodnosimysię
do nich jak do symboli zmiennych. [
...
] Ale sytuacja tego rodzaju
[
...
]zdarzasiętylko,gdydysponujemykilkomamodelamiczyinter-
pretacjamidlasystemuaksjomatycznegotejnauki,awięcjeślimamy
szereg możliwości przypisania konkretnego znaczenia terminom wy-
stępującymwtejnauce,ale[
...
]żadnejztychmożliwościniechcemy
wyróżnić. Taki natomiast system formalny, dla którego nie potrafi-
libyśmy podać ani jednego modelu, przypuszczalnie nikogo by nie
interesował
88
.”
Opisującjęzyk,wzbiorzewyrażeńwydzielasięzdania.Spośród
zdańwyróżniasię
aksjomaty
,którebezdowoduprzyjmowanesąjako
twierdzenia danego systemu. Nie wymaga się, by zdania te były in-
tuicyjnie oczywiste, jak to miało miejsce w wypadku niesformalizo-
wanegosystemuaksjomatycznego.
Aksjomatyspecyficzne
toteaksjo-
maty,którewyróżniajądanysystemsformalizowany spośródinnych
systemówsformalizowanych.Sąoneodpowiednikamiaksjomatównie-
sformalizowanegosystemuaksjomatycznego.Pozostałeaksjomatysą
aksjomatamiprzyjętegosystemulogiki.
Określeniezasadiregułdowodzeniajestnastępnymetapemfor-
malizacjiteorii.Intuicjapoprawnościrozumowańzostajezastąpiona
przez reguły wyprowadzania twierdzeń.
Dowód formalny
to zwykle
skończony ciągformułdanegojęzyka,któresąbądź(specyficznymi)
aksjomatami rozważanej teorii, bądź tezami przyjętej logiki, bądź
dająsięznichwyprowadzićzapomocąprzyjętychregułdowodzenia.
Zdanie, dla którego istnieje dowód formalny to
twierdzenie
.Aksjo-
matylogiczneiregułydowodzeniato
aparatlogiczny
systemusforma-
lizowanego. Dla stwierdzenia poprawności dowodu wystarcza umie-
jętnośćidentyfikowaniawyrażeńrównokształtnych,czyliwyrażeńnie
różniącychsiękształtem.
Odrzucając z teorii sformalizowanej jej aksjomaty specyficzne
otrzymujemy pewien formalny system logiczny. W systemie tym
mamyaksjomatyiregułydowodzenia.Możemywięctę«resztę»trak-
tować jak system sformalizowany. W naturalny sposób nasuwa się
88
Zob.Tarski[1994],s.135.
4.1. POJĘCIE SYSTEMU SFORMALIZOWANEGO
233
pytanie, czy taki system pozwala udowodnić wszystkie i tylko tezy
logiczne.Natopytaniedajeodpowiedźjednoznajważniejszychtwier-
dzeńlogikimatematycznejudowodnioneprzezK.G¨odlaw1930r.Od-
powiedźta jestpozytywnaw wypadkuteorii elementarnych.
Teorie
elementarne
tozaś takie teorie, któreniezawierają
zmiennych wyż-
szych typów
, czyli zmiennych,których wartościami mogą byćprzed-
miotyniebędąceindywiduami,jakzbioryindywiduów,relacjewzbio-
rzeindywiduów,relacjewklasiezbiorówindywiduówitd.
W teorii sformalizowanej wyraźnie wskazane są również reguły
definiowania
89
.
Intuicjapoprawnościdefinicjizostajezastąpionaprzez
regułyformalne.Pojęciapierwotnescharakteryzowanesąprzezaksjo-
maty,wszystkieinnepojęciawprowadzanesąnadrodzedefinicji.
Możliwość formalizacji systemu ma znaczenie teoretyczne, w
szczególności dla metamatematycznych badań systemów aksjoma-
tycznych.Dlatychcelówwystarczazwyklesamopisformalizacji.W
praktyce z zasady nie spotykamy się z wykładem w pełni sformali-
zowanych teorii,conajwyżej–itozwyklejakoilustracja–zjakimś
fragmentem.Powodemtegojestniezwykłarozwlekłośćinieczytelność
dlazwykłegoczytelnikatakwyłożonejteorii
90
.
Mającjakąśteorię(zbiórwszystkichitylkozdańprawdziwychw
określonej dziedzinie) możemy pytać się, czy teoria ta daje się zak-
sjomatyzować,czyjest
aksjomatyzowalna
.Czymożliwejestwybranie
spośród jej zdań takich, z których dadzą się udowodnić wszystkie i
tylkopozostałezdaniaprawdziwe?Okazałosię–dowiódłtegoG¨odel
– że bogatsze teorie (te które zawierają arytmetykę liczb natural-
nych)niesąaksjomatyzowalne.Biorącjakikolwiekzestawzdańtaki,
żemożnarozstrzygnąć,czydanezdaniejestaksjomatemniezbudu-
jemy systemu, którego zbiór twierdzeń byłby równy zbiorowi zdań
prawdziwychteorii.
Teoriasformalizowanataka,żedladowolnegozdania(formułynie
zawierającejzmiennychwolnnych)sformułowanegowjęzykutejteo-
riiono,bądźjegonegacjajesttwierdzeniemteoriito
teoria zupełna
.
89
Jakjużwcześniej byłaotymmowa,formalizacjadefiniowaniajestosiągnię-
ciemStanisławaLeśniewskiego.
90
Por.przypisnas.140,Tarski[1994].
[ Pobierz całość w formacie PDF ]