SZAU 132-141, SZAU
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->1324.3. Modele rozmyte Takagi–SugenoJedną z odmian modeli rozmytych, które okazały się bardzo skuteczne w modelowaniuobiektów regulacji są modele typu Takagi–Sugeno [37] (czasami nazywane tak e modelamiTakagi–Sugeno–Kanga). Modele te są zło one z reguł, w następnikach których u ywa sięfunkcji. Ich zaletą jest mo liwość opisania zachowania obiektu za pomocą stosunkowoniewielkiej liczby reguł. Ogólna postać modeli Takagi–Sugeno jest więc następująca:iRegułai:jeślix1jestX1iiKixnjestXn, to14444 444423poprzednikyi=fi(x1,K,xn) ,144 244443następnik(4.34)gdzieyisą wyjściami następników. Najczęściej w następnikach u ywa się funkcji liniowych.Mają więc one postać:iy=∑aij⋅xj+a,ij=1n(4.35)gdzieaij(j= 0,…,n,i= 1,…,l) są parametrami modelu,ljest liczbą reguł z których zło onyjest model rozmyty. Zastosowanie następników liniowych upraszcza model. Co więcej, łatwojest dokonać identyfikacji ich parametrów korzystając z dobrze znanych metod. Następnikireguł, poniewa mogą być interpretowane jako modele opisujące zachowanie obiektu wokółpewnych punktów pracy, są nazywane modelami lokalnymi.W celu obliczenia wartości wyjściowej modelu rozmytego Takagi–Sugeno, nale yskorzystać z następującego wzoru:∑wy=i=1li=1li⋅yi,i(4.36)∑wgdziewi(i= 1,…,l) są siłami odpalenia poszczególnych reguł. Wyjście modelu jest więcsumą wa oną wyjść poszczególnych modeli lokalnych. Obliczenie wartości wyjścia modelutypu Takagi–Sugeno jest więc prostsze ni w przypadku modelu z rozmytymi następnikami.Przykład 4.5Rozpatrzmy przykład rozmytego modelu charakterystyki statycznej zaworuprzeznaczonego do regulacji przepływu cieczy. Charakterystyka ta jest opisana następującymwzorem [1]:y=0,3163⋅u0,1+0,9⋅u2,(4.37)gdzie wyjścieyjest przepływem przez zawór, a wejścieujest pozycjątrzpienia zaworu.Charakterystyka ta jest przedstawiona na rys. 4.14 liniąró ową. Zauwa my, e kształt tejcharakterystyki przypomina funkcjęsigmoidalną. Spróbujmy u yćmodelu rozmytego dozamodelowania tej charakterystyki. Mo na przy tym posłu yćsiędoborem parametrówmodelu wspomaganym komputerowo. Po takim zabiegu, otrzymano funkcje przynale nościpokazane na rys. 4.15. Model rozmyty jest zło ony z następujących dwóch reguł [22]:133Reguła 1: jeśliujestR1, toy= –0,3289,Reguła 2: jeśliujestR2, toy= 0,3289.Model ten choćprosty, zaskakująco dobrze oddaje modelowanąnieliniowość(linia niebieskana rys. 4.14).Rys. 4.14. Charakterystyka statyczna zaworu regulacyjnego;oryginalna – linia ró owa, z modelu rozmytego – linia niebieskaRys. 4.15. Funkcje przynale ności w modelu rozmytymcharakterystyki statycznej zaworu regulacyjnego134Przykład 4.6Rozpatrzmy teraz przypadek dynamicznego modelu typu Takagi–Sugeno. Załó my, e jestto model dyskretny o jednym wejściu i jednym wyjściu, wykorzystujący wartości sygnałówwejściowego i wyjściowego procesu w przeszłości oraz równania ró nicowe w następnikach.W takim razie model ten jest zło ony z następujących reguł:iiRegułai:jeśliykjestB1iiKiyk−n+1jestBniukjestC1iiKiuk−m+1jestCmtoiiiyk+1=b1i⋅yk+K+bn⋅yk−n+1+c1i⋅uk+K+cm⋅uk−m+1,(4.38)iigdzieb1i,K,bn,c1i,K,cm(i = 1,…,l) sąwspółczynnikami modeli lokalnych,ykjest wartościąwyjścia obiektu regulacji w chwilik, ukjest wartościąwejścia w chwilik,iiB1i,…,Bn,C1i,…,Cmsązbiorami rozmytymi. Zauwa my, e modele lokalne sąliniowe(najczęściej takie sąu ywane w praktyce) i mogąbyćzidentyfikowane na podstawie próbekzarejestrowanych w okolicach kilku punktów pracy podczas eksperymentów prowadzonychna realnym obiekcie (często stosowane podejście).Powróćmy teraz do ogólnej postaci modeli typu Takagi–Sugeno. Zwróćmy uwagęna to, ezastosowanie wzoru (4.36) jest równowa ne obliczaniu następującej sumy:~~y=∑aj⋅xj+a,j=1n(4.39)~aj=∑w⋅aii=1lij∑wi=1l,i~gdzieajjest sumąwa onąodpowiednich parametrów modeli lokalnych. W celuuproszczenia zapisu zwykle wprowadza sięwagi znormalizowane, tzn.:w~wi=l i.∑wii=1(4.40)Przykład 4.7Wróćmy do poprzedniego przykładu. Wyjście rozmytego modelu dynamicznego będzie wtakim razie opisane następującązale nością:~~~~yk+1=b1⋅yk+K+bn⋅yk−n+1+c1⋅uk+K+cm⋅uk−m+1,(4.41)gdziell~~⋅bi,c=w⋅ci.~bj=∑wi j∑~i jji=1i=1Tego typu model mo na więc traktowaćjako model liniowy z parametrami zmiennymi wczasie. Dlatego te modele Takagi–Sugeno nazywa sięczasem modelami quasi–liniowymi.1354.3.1. Przedstawienie modelu Takagi–Sugeno w postaci sieci neuronowejModele rozmyte mo na przedstawićw postaci rozmytych sieci neuronowych (ang. FuzzyNeural Networks – FNN), zob. np. [29, 31, 38]. Mo na z nich skorzystaćw celu identyfikacjimodeli rozmytych. Przypomnijmy, ogólnąpostaćmodeli rozmytych typu Takagi–Sugeno.Model takiego typu jest zło ony z zestawu następujących reguł (przy zało eniu następnikówopisanych funkcjąliniową):iRegułai:jeślix1jestX1iiKixnjestXn, toiy=∑aij⋅xj+a.ij=1n(4.42)Wyjście modelu rozmytego typu Takagi–Sugeno jest z kolei dane wzorem:~y=∑wi⋅yi,i=1l(4.43)~gdziewisąznormalizowanymi wagami. W takim razie, ogólnąstrukturęrozmytej siecineuronowej odzwierciedlającej model rozmyty z wyjściem opisanym równaniem (4.43)mo na przedstawić, jak na rys. 4.16.x1::xnNeuronowymodelpoprzedników~w1::~wly1x::Neuronowymodelnastępników::xyl::+yRys. 4.16. Ogólna struktura rozmytej sieci neuronowejNeuronowy model poprzednikówPrzypomnijmy, e znormalizowane wagi sąopisane wzorem:w~wi=l i,∑wii=1(4.44)gdzie poszczególne wagiwi, przy zało eniu, e jako operatora koniunkcji u yto mno enia, sąiloczynem wartości funkcji przynale ności:nwi=∏µXi(xj).j=1j(4.45)W takim razie struktura neuronowego modelu poprzedników będzie miała postaćtaką, jak narys. 4.17.136x1µX(x1)11xw1/~w1::µX(x1)i1::::::::µX(x1)l1::xnxwi/~wiµX(xn)1n::::∑wi=1li::µX(xn)in::µX(xn)lnwlx/~wlx – mno enie/– dzielenieRys. 4.17. Neuronowy model poprzedników rozmytego modelu Takagi–SugenoZauwa my, e w powy szym modelu neuronowym poprzedników, uczeniu podlegająparametry funkcji przynale nościµXi(xj) . Funkcje te zostały oznaczone elementamijprostokątnymi, poniewa sąto elementy bardziej zło one, które mo na byłoby przedstawićzapomocąprostszych neuronów. Nie jest to jednak konieczne do przeprowadzenia dalszychrozwa ań.Neuronowy model następnikówPrzypomnijmy postaćnastępników poszczególnych reguł w rozwa anym modelurozmytym:iy=∑aij⋅xj+a;i= 1,…,l.ij=1nZauwa my, e jest to zale nośćliniowa. W takim razie struktura następników regułrozwa anego modelu Takagi–Sugeno mo e byćprzedstawiona jako sztuczna siećneuronowaz rys. 4.18. W tym modelu neuronowym, uczeniu podlegająparametryaijfunkcji liniowychwystępujących w następnikach reguł, z których jest zło ony model rozmyty.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]