suma wektorów, PWR, Mechanika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2.2. Suma i różnica wektorów
Wektory swobodne można dodawać i odejmować geometrycznie (wykreślnie)
oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów
a
i
b
polega na
c = a + b
B
a
C
b
−
b
O
d
=
a
−
b
Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów
a
A
zastosowaniu reguły równoległoboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby
ich początki znalazły się w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach
równoległobok OACB pokazany na rys. 2.6. Sumą dodawanych wektorów
a
i
b
nazywamy wektor
c
równy przekątnej równoległoboku:
c
=
OC
=
a
+
b
.
Różnicę dwóch wektorów
a
−
b
otrzymamy przez dodanie do wektora
a
wektora różniącego się od wektora
b
tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny (−
b
):
da b ab
=+− =−.
( )
Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 linią przerywaną.
Z rysunku wynika, że sumę dwóch wektorów przedstawia jedna przekątna, a
różnicę druga.
Większą liczbę wektorów można sumować, stosując regułę równoległoboku do
kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzystać z metody
wieloboku wektorów.
Gdy mamy n wektorów
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
, to do końca pierwszego wektora
przykładamy początek drugiego, ado końca drugiego początek trzeciego.
Postępując w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcję
przedstawioną na rys. 2.7. Sumą n wektorów, zwaną sumą geometryczną,
nazywamy wektor
a
łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego:
∑
n
a a a ... a
=++ + =
=
1
2
n
a
k
.)
.
k
1
a
n
a
3
a
3
a
2
a
n
a
1
a
1
a
2
a
A
O
Rys. 2.7. Dodawanie n wektorów
Omówioną konstrukcję nazywamy wielobokiem wektorów. Jeżeli koniec
ostatniego wektora pokrywa się z początkiem pierwszego, to suma wektorów jest
równa zeru:
a
= 0. Mówimy wtedy, że wielobok jest zamknięty. W przeciwnym
razie, tj. gdy
a
0, wielobok jest otwarty.
Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie, że do dodawania wektorów stosuje się
prawo przemienności:
a
+
+
b
=
b
a
oraz łączności
( ) ( )
.
a
+
b
+
c
=
a
+
b
+
c
Aby analitycznie dodać n wektorów, musimy je wyrazić za pomocą
współrzędnych z przyjętego układu współrzędnych:
a
k
=
a
kx
i
+
a
ky
j
+
a
kz
k
(
k
=
1
,
2
,
.
.
.
n
)
.
Po podstawieniu tego wzoru do równania (2.9) otrzymamy:
∑
n
∑
n
(
)
∑ ∑
n
n
∑
1
n
a
= =
a
k
a
kx
i
+ + = +
a
ky
j
a
kz
k
a
kx
i
a
ky
j
+
a
kz
k
.
k
=
1
k
=
1
k=1
k
=
1
k
=
Po oznaczeniu w tym równaniu współrzędnych wektora
a
przez a
x
, a
y
, a
z
mamy:
n
n
n
∑∑∑
1
a
x
i
++ = + +
=
y
j
a
z
k
a
kx
i
a
ky
j
a
kz
.
k
k
k
=
1
k
=
1
Z obustronnego porównania wyrazów występujących przy odpowiednich
wersorach otrzymujemy wzory na współrzędne wektora będącego sumą wektorów:
∑
n
∑∑
n
n
a
=
a
,
a
=
a
,
a
=
a
.
(2.10)
x
kx
y
ky
z
kz
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Otrzymane wyniki są zgodne z treścią znanego twierdzenia Charles’a, że rzut
sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów
na tÄ™ oÅ›.
a
[ Pobierz całość w formacie PDF ]