Sałata - Mechanika ogólna w zarysie 2 rachunek wektorowy, MECHANIKA, MECHANIKA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar
Wielkości fizyczne występujące w mechanice i innych działach fizyki można
podzielić na
skalary
i
wektory
. Aby określić wielkość skalarną, wystarczy podać
tylko jedną liczbę. Wielkościami takimi są masa, czas, temperatura, objętość i inne.
Do określenia wielkości wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby.
Przykładem takiej wielkości jest siła. Aby ją określić, należy podać wartość,
kierunek
w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby określić wektor, należy znać:
a) wartość bezwzględną wektora, zwaną modułem,
b) kierunek, czyli prostą, na której leży wektor (linię działania),
c) zwrot,
d) punkt przyłożenia.
Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają dla swego określenia podania
wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozróżniamy:
wektory
zaczepione
,
wektory przesuwne
lub
ślizgające się
oraz
wektory swobodne
.
Wektory zaczepione
wymagają do ich określenia podania wszystkich czterech
cech. Wektorów takich nie można przemieszczać ani przesuwać.
Wektory przesuwne
są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania.
Takie wektory mogą być jedynie przesuwane wzdłuż prostych, na których leżą.
Wektory swobodne
są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy
do ich linii działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie
przemieszczać, równolegle do kierunku jego działania.
Graficznie wektory przedstawia się za pomocą odcinka skierowanego jak na
rys. 2.1. Długość odcinka określa moduł wektora, kierunek – kierunek wektora
(linię działania), a strzałka – zwrot wektora. Wektory będziemy oznaczać
pogrubionymi literami – jedną literą albo dwoma, oznaczającymi początek i koniec
wektora:
a
=
.
Moduł wektora będziemy oznaczać tak jak skalary albo za pomocą symbolu
wartości bezwzględnej:
a
== =
AB
A
.
Moduł jest na ogół wielkością mianowaną i jego wartość liczbowa zależy od
przyjętych jednostek fizycznych.
Dwa wektory swobodne przedstawiające tę samą wielkość wektorową są
równe, jeżeli mają równe moduły, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne
były
AB
a
B
równe, muszą ponadto leżeć na jednej prostej, a wektory zaczepione muszą być
przyłożone w jednym punkcie. Równość wektorów
a
i
b
zapisujemy tak jak
równość liczb, czyli
ab
= .
W wyniku pomnożenia wektora
a
przez skalar k otrzymamy nowy wektor
b
równoległy do wektora
a
o module k razy większym od modułu wektora
a
. Zwrot
wektora
b
będzie zależał od znaku skalara k. Jeżeli k > 0, to zwrot wektora
b
jest
zgodny ze zwrotem wektora
a
, a przeciwny, gdy k < 0 (rys. 2.2). Wektor
b
będziemy zapisywać:
ba
= k .
.)
e
a
B
a
b
b
a
k
!
0
k
0
Rys. 2.1. Graficzne przedstawienie wektora
Rys. 2.2. Wektory równoległe
Rzutem wektora
a
=
AB
na dowolną oś l nazywamy odcinek
AB
, którego
początek i koniec są rzutami początku i końca wektora
a
na oś l (rys. 2.3).
B
a
A
α
.
.
e
l
l
A′
B′
Rys. 2.3. Rzut wektora na oś
Z rysunku 2.3 wynika, że rzut wektora
a
na oś l jest równy iloczynowi modułu
wektora pomnożonemu przez kosinus kąta zawartego między kierunkiem wektora
a osią.
A
B
′
=
Rz
l
( )
=
a
cos
α
.
.)
Łatwo spostrzec, że jeżeli zwrot wektora i zwrot osi są zgodne oraz kąt α jest ostry,
to znak rzutu jest dodatni.
A
′′
′
a
Często do określenia kierunku w przestrzeni używamy tzw. wektora
jednostkowego, którego moduł jest równy jedności i jest liczbą bezwymiarową.
Mając dowolny wektor, można utworzyć wektor jednostkowy o kierunku tego
wektora przez podzielenie wektora przez jego moduł. Wektor jednostkowy
będziemy oznaczać literą
e
z indeksem dolnym oznaczającym kierunek. Wektor
jednostkowy o kierunku i zwrocie wektora
a
, pokazany na rys. 2.1, otrzymamy ze
wzoru:
e
= .
.)
a
a
a
Po przekształceniu powyższego wzoru widzimy, że każdy wektor można
zapisać w postaci iloczynu jego modułu i wektora jednostkowego:
ae
= a
a
.
.)
W celu analitycznego przedstawiania wektorów należy wprowadzić odpowiedni
układ współrzędnych. Najczęściej przyjmujemy kartezjański prostokątny układ
współrzędnych o osiach x, y, z i wektorach jednostkowych
i
,
j
,
k
o kierunkach osi
współrzędnych zwanych
wersorami
. W dalszym ciągu będziemy wyłącznie
stosować prawoskrętne układy współrzędnych charakteryzujące się tym, że jeżeli
obrócimy oś x w kierunku osi y, to oś z jest skierowana zgodnie z regułą śruby
prawoskrętnej (rys. 2.4a). Na rysunku 2.4b przedstawiono układ lewoskrętny.
z
a)
z
b)
k
0
j
k
0
i
i
y
j
x
x
y
Rys. 2.4. Prostokątne układy współrzędnych: a) prawoskrętny, b) lewoskrętny
z
a
z
k
a
a
y
j
a
x
i
0
y
Rys. 2.5. Składowe wektora w kartezjańskim układzie współrzędnych
x
W układzie współrzędnych prostokątnych o osiach x, y, z i wersorach
odpowiednio
i
,
j
,
k
dowolny wektor
a
można rozłożyć na trzy składowe: a
x
i
,
a
y
j
,
a
z
k
o kierunkach osi układu współrzędnych (rys. 2.5). Wektor
a
możemy zapisać
analitycznie w postaci sumy trzech wektorów składowych (por. p. 2.2):
a
= + +
a
x
i
a
y
j
a
z
.
.)
k
W powyższym wzorze a
x
, a
y
, a
z
są współrzędnymi wektora równymi
rzutom wektora
a
na osie układu współrzędnych x, y, z. Jeżeli wektor
a
tworzy z
osiami x, y, z odpowiednio kąty α, β, γ, to jego współrzędne (rzuty) zgodnie ze
wzorem (2.2) wyrazimy następująco:
a
x
=
a
cos
α
,
a
y
=
a
cos
β
,
a
z
=
a
cos
γ
(2.6)
Gdy znane są współrzędne wektora, to jego moduł określa wzór:
a
=++
a
2
a
2
a
2
,
.)
x
y
z
a kosinusy kątów, zwane
kosinusami kierunkowymi
, wyznaczonymi przez kierunki,
jakie wektor
a
tworzy z osiami x, y, z, wyrażają zależności:
cos
α
=
a
x
,
cos
β
=
a
y
,
cos
γ
=
a
z
.
(2.8)
a
a
a
.
2.2. Suma i różnica wektorów
Wektory swobodne można dodawać i odejmować geometrycznie (wykreślnie)
oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów
a
i
b
polega na
c = a + b
B
a
C
b
−
b
O
d
=
a
−
b
Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów
a
A
zastosowaniu reguły równoległoboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby
ich początki znalazły się w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach
równoległobok OACB pokazany na rys. 2.6. Sumą dodawanych wektorów
a
i
b
nazywamy wektor
c
równy przekątnej równoległoboku:
c
=
OC
=
a
+
b
.
Różnicę dwóch wektorów
a
−
b
otrzymamy przez dodanie do wektora
a
wektora różniącego się od wektora
b
tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny (−
b
):
da b ab
=+− =−.
( )
Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 linią przerywaną.
Z rysunku wynika, że sumę dwóch wektorów przedstawia jedna przekątna, a
różnicę druga.
Większą liczbę wektorów można sumować, stosując regułę równoległoboku do
kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzystać z metody
wieloboku wektorów.
Gdy mamy n wektorów
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
, to do końca pierwszego wektora
przykładamy początek drugiego, ado końca drugiego początek trzeciego.
Postępując w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcję
przedstawioną na rys. 2.7. Sumą n wektorów, zwaną sumą geometryczną,
nazywamy wektor
a
łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego:
∑
n
a a a ... a
=++ + =
=
1
2
n
a
k
.)
.
k
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]